【摘要】本文從古典耦合顫振理論、分離流顫振模型和三維橋梁額振分析等三個(gè)方面簡(jiǎn)要回顧了空氣動(dòng)力作用下大跨度橋梁風(fēng)振穩(wěn)定性研究的歷史，比較全面地綜述了橋梁額振穩(wěn)定性理論由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由解析方法到數(shù)值方法、由二維顫振到三維額振以及由多模態(tài)參與到全模態(tài)參與的發(fā)展過程。為了便于定量地比較這幾種顫振分析理論和方法的適宜條件和精度，以完全流線形的懸臂機(jī)翼和鈍體截面的上海南浦大橋?yàn)槔?jì)算和分析了顫振臨界風(fēng)速的數(shù)值結(jié)果。
關(guān)鍵詞 空氣動(dòng)力學(xué) 大跨度橋梁 顫振 穩(wěn)定性 臨界風(fēng)速


一、前言
浸沒在氣流中的任一物體，都會(huì)受到氣流的作用，這種作用通常稱為空氣力作用。當(dāng)氣流繞過一般為非流線形（鈍體）截面的橋梁結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生渦旋和流動(dòng)的分離，形成復(fù)雜的空氣作用力[1]。當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)的剛度較大時(shí)，結(jié)構(gòu)保持靜止不動(dòng)，這種空氣力的作用只相當(dāng)于靜力作用；當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)的剛度較小時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)得到激發(fā)，這時(shí)空氣力不僅具有靜力作用，而且具有動(dòng)力作用[2]。風(fēng)的動(dòng)力作用激發(fā)了橋梁風(fēng)致振動(dòng)，而振動(dòng)起來的橋梁結(jié)構(gòu)又反過來影響空氣的流場(chǎng)，改變空氣作用力，形成了風(fēng)與結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)制。當(dāng)空氣力受結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響較小時(shí)，空氣作用力作為一種強(qiáng)迫力,引起結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)；當(dāng)空氣力受結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響較大時(shí)，受振動(dòng)結(jié)構(gòu)反饋制約的空氣作用力，主要表現(xiàn)為一種自激力，導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)的自激振動(dòng)。當(dāng)空氣的流動(dòng)速度影響或改變了不同自由度運(yùn)動(dòng)之間的振幅及相位關(guān)系，使得橋梁結(jié)構(gòu)能夠在流動(dòng)的氣流中不斷汲取能量，而該能量又大于結(jié)構(gòu)阻尼所耗散的能量，這種形式的發(fā)散性自激振動(dòng)稱為橋梁顫振[3]。橋梁顫振物理關(guān)系復(fù)雜，振動(dòng)機(jī)理深?yuàn)W，因而橋梁顫振穩(wěn)定性研究也經(jīng)歷了由古典耦合顫振理論到分離流顫振機(jī)理再到三維橋梁顫振分析的發(fā)展過程。

二、古典耦合顫振理論
盡管由氣動(dòng)彈性影響所引起的機(jī)翼動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象早在人類實(shí)現(xiàn)空中飛行夢(mèng)想的最初年代里已經(jīng)觀察到了，但是非定常機(jī)翼顫振理論直到20年代初才取得了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。
1． Theodorsen機(jī)翼顫振理論
1922年，Bimbaum利用Prandtl的約束渦旋理論，提出了第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平板機(jī)翼的氣動(dòng)升力解析表達(dá)式。此后 Theodorsen，Wagner，Glanert，Kussner，Duncan和 Collar等氣動(dòng)專家對(duì)二維振動(dòng)平板的非定常氣動(dòng)力表達(dá)式進(jìn)行了10多年的深入研究[4,5]，直到 1935年，才由Theodorsen用勢(shì)能原理第一次求出了這一問題最完整的解答--Teodorsen平板機(jī)翼氣動(dòng)升力 Ln和升力矩Mα的表達(dá)式[6]．

式中，ρ為空氣密度；B為機(jī)翼密度；U為空氣流速;h和為垂直位移及其一階導(dǎo)數(shù)；α和為傾角及其一階導(dǎo)數(shù)；k為折算頻率，且k＝Bω/U；ω為振動(dòng)圓頻率；c（k）稱為Theodorsen函數(shù)。建立在平板機(jī)翼氣動(dòng)力基礎(chǔ)之上的機(jī)翼顫振分析方法，就是著名的Theodorsen平板機(jī)翼顫振理論。類似于式（l）中的空氣力解答也曾經(jīng)由 Kussner和Schwarz,Cicala，Schmieden，Ellenberger等人提出，但是應(yīng)用最廣泛的還是Theodorsen表達(dá)力[3-5]。
2．Bleich懸索橋顫振分析
1940年秋天，美國華盛頓州Tacoma懸索橋風(fēng)毀失事，人們很自然地將這一風(fēng)振現(xiàn)象比擬為裹冰狀態(tài)輸電纜的馳振或平板機(jī)翼的顫振。Bleich試圖用Theodorsen平板機(jī)翼顫振理論來解釋這一事故，但是他發(fā)現(xiàn)居此計(jì)算得到的顫振臨界風(fēng)速遠(yuǎn)高于Tacoma懸索橋破壞當(dāng)天的實(shí)際風(fēng)速。顯然機(jī)翼顫振系數(shù)不能直接用于氣動(dòng)現(xiàn)象更加復(fù)雜的鈍體截面中，例如Tacoma懸索橋的桁架加勁梁斷面。為此，BIeich又嘗試用考慮橋面斷面兩邊渦旋影響的附加升力項(xiàng)來修正Theodorsen氣動(dòng)力表達(dá)式，并通過逐次逼近方法計(jì)算出了較為合理的懸索橋顫振臨界風(fēng)速，從而建立起了懸索橋古典耦合顫振的分析方法［7］。
3． Kloppel/Thiele諾模圖
1961年，Kltw和Thiele將BIeich懸索橋古典耦合顫振理論的逐次逼近過程編制成計(jì)算程序，引入無量綱參數(shù)，分別繪制出不同阻尼比條件下顫振方程實(shí)部和虛部為零的兩條曲線的諾模圖，利用諾模圖可以直接求出顫振臨界風(fēng)速[8]。該方法一直沿用到現(xiàn)在，例如ECCS中的附表[9].
4．Van der Put計(jì)算公式
1976年，van der put在Kloppel和Thiele諾模圖的基礎(chǔ)上，偏于安全地忽略了阻尼的影響，認(rèn)為折算風(fēng)速U/ωB和扭彎頻率比ε=ωα/ωh之間具有近似線性關(guān)系，從而導(dǎo)出了平板古典耦合顫振臨界風(fēng)速Ucr的實(shí)用計(jì)算公式[10]:

式中，r/b為橋梁斷面的慣性半徑比，即 ；b為橋梁的半寬度；m和J為橋梁斷面單位長(zhǎng)度質(zhì)量和質(zhì)量慣矩，μ為橋梁與空氣的密度比，即 。
值得注意的是，以Theodorsen機(jī)翼古典耦合顫振理論為基礎(chǔ)的懸索橋古典耦合顫振理論存在著嚴(yán)重的缺陷，即忽視了流動(dòng)的分離。由于實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的橫斷面并非理想的流線形截面或平板，當(dāng)氣流流過橋梁橫斷面時(shí)存在著流動(dòng)分離和渦旋脫落，而Theodorsen理論并不能反映這種情況[5]

三、分離流顫振機(jī)理
當(dāng)氣流繞過振動(dòng)著的非流線性截面時(shí)，在迎風(fēng)面的棱角處氣流將發(fā)生分離，同時(shí)產(chǎn)生渦旋脫落，也可能發(fā)生再附，其流態(tài)十分復(fù)雜，簡(jiǎn)單地采用Theodorsen表達(dá)式已經(jīng)不能描述氣流作用在非流線體上的非定常空氣力[11]。
1．非定常氣動(dòng)力實(shí)驗(yàn)測(cè)量
Theodorsen機(jī)翼氣動(dòng)力表達(dá)式是建立在有勢(shì)流沿著翼面流動(dòng)基礎(chǔ)之上的。一旦氣流有分離時(shí)，這一假定立即失效，而流動(dòng)分離所引起的失速顫振現(xiàn)象最早是在螺旋漿和航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片上觀察到的。由于建立在分離流基礎(chǔ)之上的非定常氣動(dòng)力表達(dá)式無法找到，因此從30年代開始，人們將注意力轉(zhuǎn)向用實(shí)驗(yàn)方法來確定非定常氣動(dòng)力，主要通過兩種方法來實(shí)施。一是直接測(cè)量法，即對(duì)確定形式振動(dòng)的物體，采用拾振器、應(yīng)變計(jì)或其他儀器直接測(cè)量氣動(dòng)力分量；二是間接測(cè)量法，即間接地從振動(dòng)的物體上計(jì)算氣動(dòng)力的大小，這兩種方法同樣適用于機(jī)翼和橋梁斷面。
1958年，F(xiàn)orshing采用直接測(cè)量法測(cè)得了各種棱柱體的非定常氣動(dòng)力［12］，而Ukeguchi等人將 Halfman測(cè)量機(jī)翼非定常氣動(dòng)力的方法，首次用到了橋梁斷面非定常氣動(dòng)力的測(cè)定中，他們采用機(jī)械方法在兩個(gè)自由度方向用不同頻率的簡(jiǎn)諧波激發(fā)剛體橋梁節(jié)段模型振動(dòng)，在模型的支承處測(cè)量氣動(dòng)力[13]。隨后這種強(qiáng)迫振動(dòng)技術(shù)在日本得到了很大的發(fā)展，被廣泛地用來測(cè)定鈍體斷面的氣動(dòng)力和非線性性能[14－16]。近年來，用于高速電子壓力掃描閥技術(shù)的發(fā)展，使得多點(diǎn)同步測(cè)量得以實(shí)現(xiàn)，這項(xiàng)技術(shù)的應(yīng)用開辟了非定常氣動(dòng)力測(cè)量的又一新途徑【17】。
與直接測(cè)量法相反，間接氣動(dòng)力測(cè)量方法一般只需要比較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，但是對(duì)實(shí)驗(yàn)的要求更高，這一方法在橋梁氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用是由Scanlan首創(chuàng)的[l1][18]，很快在世界范圍得到普及［19］［20］.
2．非定常氣動(dòng)力計(jì)算模型
橋梁結(jié)構(gòu)分離流顫振實(shí)驗(yàn)加理論方法的建立與完善是與著名氣動(dòng)力專家R．H．Scanlan的貢獻(xiàn)緊密聯(lián)系在一起的。1967年，Scanlan首先提出對(duì)Theodorsen機(jī)翼氣動(dòng)力表達(dá)式進(jìn)行修正的建議【11】。Scanlan認(rèn)為，對(duì)于非流線性的鈍體截面，不可能從基本的流體力學(xué)原理推導(dǎo)出類似于Theodorsen函數(shù)的氣動(dòng)函數(shù)，但可以通過專門設(shè)計(jì)的節(jié)段模型風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)測(cè)定小振幅條件下的氣動(dòng)力參數(shù)--顫振導(dǎo)數(shù)（Flutter Derivatives）來建立線性非定常氣動(dòng)力計(jì)算模型［18］


1974年，Scanlan利用節(jié)段模型風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中實(shí)測(cè)的顫振導(dǎo)數(shù)反算出過渡函數(shù)（Indicial Function）[21]，并與Theodorsen函數(shù)進(jìn)行了比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種函數(shù)曲線相差很大，從而找到了利用古典耦合顫振理論分析鈍體橋梁顫振問題所造成的誤差原因。Scanlan還斷言，從理論上找到適合于各種非流線型斷面的過渡函數(shù)是不可能的。

3．M維顫振分析方法
一旦建立了非定常氣動(dòng)力計(jì)算模型，氣動(dòng)失穩(wěn)臨界狀態(tài)就很容易確定了，其中，最典型的方法就是將所謂阿'片條理?quot;應(yīng)用于氣流與結(jié)構(gòu)相互作用之中，確定出一個(gè)垂直于橋軸線方向的二維節(jié)段，假定沿著橋軸線方向的任意三維影響都可以忽略不計(jì)，由此可得二維顫振方程[3]:

式中，J為每延米橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量?jī)A矩；Ch和CG分別表示A和a方向的結(jié)構(gòu)阻尼；Kh和Kα分別表示h和α方向的結(jié)構(gòu)剛度。與傳統(tǒng)的機(jī)翼顫振類似，阻力方向的振動(dòng)影響一般忽略不計(jì)。此外，還假定二維節(jié)段在h和α兩個(gè)方向的振動(dòng)是小振幅的同頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣就可以在傳統(tǒng)的顫振分析中采用隨折算頻率變化的非定常氣動(dòng)力。
4．Selberg計(jì)算公式
在電子計(jì)算機(jī)誕生之前，顫振分析的數(shù)值計(jì)算工作一直是一項(xiàng)枯燥繁重的勞動(dòng)。為了簡(jiǎn)化這項(xiàng)枯燥的工作，人們提出了許多顫振簡(jiǎn)化計(jì)算方法。對(duì)于平板機(jī)翼，由于每一種翼型的氣動(dòng)力表達(dá)式都有一定的差異，因此需要對(duì)一系列的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析，才能有針對(duì)性地進(jìn)行額振計(jì)算，Theodorsen和Garrick[24]在這方面作了大量細(xì)致的工作，找到了一些實(shí)用的機(jī)翼顫振計(jì)算公式。而在橋梁結(jié)構(gòu)方面，許多研究人員也作出了相同的努力，其中Selberg實(shí)用計(jì)算公式是被引用得最多的一種二維顫振實(shí)用計(jì)算公式［25］：


式中，系數(shù)κ是用來修正不同形狀的橋梁斷面和不同來流攻角的，對(duì)于平板斷面，κ取1.0。與此同時(shí)，Kloppel和Weber， Rocard，F(xiàn)randsen等人也先后提出過類似的二維顫振實(shí)用計(jì)算公式【26】。

四、三線橋梁顫振分析
Scanlan提出的非定常氣動(dòng)力計(jì)算模型較好地解決了非流線形截面的非定常氣動(dòng)力描述問題，其中二維顫振分析最為簡(jiǎn)單實(shí)用。但是隨著橋梁跨徑的日益增大，結(jié)構(gòu)剛度急劇下降，特別是側(cè)向剛度的下降，導(dǎo)致了側(cè)彎與扭轉(zhuǎn)振型緊密耦合。此外，結(jié)構(gòu)各階自振頻率的差異很小，兩個(gè)或兩個(gè)以上振型參予顫振的可能性逐漸增加，因此，為了提高橋梁顫振分析精度，有必要尋求更精確的三維橋梁額振分析方法。
1．時(shí)域分析法
盡管橋梁顫振分析一般是在頻域內(nèi)進(jìn)行的，但是也出現(xiàn)了一些時(shí)域分析方法。早在70年代初，Scanlan，Beliveau和Budlong采用飛行器設(shè)計(jì)中的傳遞函數(shù)首先提出了全時(shí)域分析方法[21]，Bucher和Lin將這種方法推廣到了耦合模態(tài)顫振[27]。但是，這一方法的主要困難在于尋找與實(shí)驗(yàn)所確定的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)相對(duì)應(yīng)的合適的過渡函數(shù)，特別是當(dāng)截面為非流線型時(shí)，難度更大。近年來，人們之所以投入了大量的精力從事開發(fā)有效的非定常氣動(dòng)力的時(shí)域表達(dá)式，主要是因?yàn)檫@種時(shí)域表達(dá)式既可與有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算模型相結(jié)合又能包含幾乎所有的非線性因素，而這些非線性因素以前是一概忽略的。時(shí)域方法的發(fā)展是與諸如日本 Akashi橋、丹麥Storebraelt橋和意大利的Messina橋等超大跨度橋梁的規(guī)劃和設(shè)計(jì)緊密聯(lián)系在一起的。
Miyata等人清楚地闡明了時(shí)域分析方法在橋梁抖振響應(yīng)估計(jì)中的優(yōu)越性，特別是在采用有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算模型時(shí)的優(yōu)勢(shì)[28]，他們?cè)谄瑮l假定的前提下，采用了傳統(tǒng)的準(zhǔn)定常氣動(dòng)力表達(dá)式。 Kovacs等人也曾提出過類似的方法[29]。但在另一方面，Diana等人應(yīng)用不同折算風(fēng)速下的氣動(dòng)力系數(shù)等效線性化方法建立了一種所謂精確的準(zhǔn)定常理論【30】，這一理論方法除了不能考慮氣動(dòng)力時(shí)效影響和升力的展向相關(guān)性之外，在許多方面被證明是足夠數(shù)確的。
另一種自激力模型是采用與Laplace變換相對(duì)應(yīng)的有理函數(shù)來近似表示非定常氣動(dòng)力。實(shí)質(zhì)上，這種思路與過渡函數(shù)是完全類似的。Xie等人將這一思想完善成狀態(tài)空間法用來分析多模態(tài)三維橋梁顫振問題【31，32】。類似的方法還曾經(jīng)由Lin和Li【31】，M.S.Li【34】，Boonyapinio[35], Fujino[36]等人提出。
2．多模態(tài)耦合顫振
三維橋梁顫振分析更多地是采用頻域分析方法。放棄片條假定后的三維橋梁顫振分析方法的應(yīng)用還只有很短的歷史，這種分析主要通過兩種不同的途徑來實(shí)現(xiàn)：第一條途徑是將頻率或時(shí)域內(nèi)的非定常氣動(dòng)力直接作用到結(jié)構(gòu)的三維有限元計(jì)算模型上，一般稱為直接方法；第二條途徑是把結(jié)構(gòu)響應(yīng)看作是分散在各階模態(tài)上的影響，然后將各階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)疊加起來，稱為模態(tài)疊加法。
直接法是由Miyata和Yamada提出的，他們把直接法歸納為用頻域內(nèi)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)所表示的一個(gè)復(fù)特征值問題【37】，這一方法的基本原理簡(jiǎn)單，但主要缺陷在于需要大容量的計(jì)算機(jī)來求解費(fèi)時(shí)的復(fù)特征值問題。因此，許多研究者提出了另一種方法，即模態(tài)疊加法，現(xiàn)有許多種頻域內(nèi)的多模態(tài)參予顫振分析方法。Agar[38,39]和Chen[40,41]采用模態(tài)計(jì)術(shù)來求解線性二次特征值方程。作為機(jī)翼顫振分析方法一p－k的推廣，Nmini等人【42】和程【43】提出了更加一般性的p-k-F法，通過求解模態(tài)方為確定顫振前后的狀態(tài)。更進(jìn)一步的還有Lin和Yang[44],Jones和Scanlan[45]，Tanaka等人[46]，Jain等人[47]直接利用行列式搜索法求解廣義特征矩陣的復(fù)特征值。
幾乎所有三維顫振分析都是在頻域中進(jìn)行的，并且基于了模態(tài)疊加假定。這一假定認(rèn)為固有模態(tài)之間的動(dòng)力耦合是通過自激氣動(dòng)力來實(shí)現(xiàn)的。然而，值得注意的是，這一假定存在著一些本質(zhì)上的缺陷。首先多少階模態(tài)和那些模態(tài)參與了顫振失穩(wěn)，特別是在結(jié)構(gòu)跨徑很大或在施工過程中結(jié)構(gòu)總體剛度尚未完全達(dá)到時(shí)，極有可能發(fā)生有兩個(gè)以上的振動(dòng)模態(tài)參與了顫振；其次，這種模態(tài)組合僅僅是顫振模態(tài)的一種近似表達(dá)式，沒有任何理由使人們相信這是完全精確的，特別是在參與顫振的模態(tài)之間缺乏幾何相似性時(shí)，顫振模態(tài)本身會(huì)變得非常復(fù)雜。正是考慮到這些因素，有必要建立一種更加綜合和精確的方法來分析顫振模態(tài)，增進(jìn)對(duì)懸吊體系橋梁氣動(dòng)失穩(wěn)機(jī)理的理解和認(rèn)識(shí)。
3．全模態(tài)顫振分析
全模態(tài)顫振分析方法是由本文作者提出的一種適合于大跨度橋梁顫振計(jì)算的方法，它是在Scanlan非定常氣動(dòng)力假定基礎(chǔ)上建立起來的一種頻域內(nèi)顫振分析的精確方法，是對(duì)多模態(tài)顫振分析的一種推廣[48,49].
所謂精確方法，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，首先全模態(tài)方法不再像多模態(tài)方法那樣將自激氣動(dòng)力作為外力作用在橋梁結(jié)構(gòu)上，而是把橋梁結(jié)構(gòu)與繞流氣體作為一個(gè)相互作用的整體系統(tǒng)，建立系統(tǒng)顫振方法：


[B]{x}=λ[A]{x}
式中

五、算例比較
為了比較各種橋梁顫振分析方法的適用性和精確性，現(xiàn)以流線型斷面的懸臂機(jī)翼結(jié)構(gòu)和鈍體截面的上海南浦大橋?yàn)槔治龊捅容^顫振臨界風(fēng)速的計(jì)算結(jié)果。
1．懸臂機(jī)翼結(jié)構(gòu)
第一個(gè)算例涉及到具有流線型斷面的懸臂機(jī)翼結(jié)構(gòu)，主要考慮到該結(jié)構(gòu)具有精確的非定常氣動(dòng)力表達(dá)式，因而可以求得顫振臨界風(fēng)速的解析解--Theodorsen解，表1列出了分別按照六種不同方法計(jì)算得到的顫振臨界風(fēng)速及其與Theodorsen解的相對(duì)誤差，這六種方法包括Theodorsen解，古典耦合顫振的van der Put實(shí)用計(jì)算公式，分離流二維顫振的Selberg實(shí)用計(jì)算公式，代表三維顫振時(shí)域分析方法的狀態(tài)空間法，代表三維顫振多模態(tài)參與頻域方法的p－k－F法，以及本文作者提出的全模態(tài)顫振分析法［49］。

上述計(jì)算結(jié)果表明，由于懸臂機(jī)翼顫振是一種古典耦合顫振，因此采用Van der Put計(jì)算公式精度較高，而采用分離流顫振假定的Selberg計(jì)算公式則誤差較大，在三種數(shù)值計(jì)算方法中，全模態(tài)顫振分析方法的計(jì)算精度最高。
2．上海南浦大橋
第二個(gè)算例為上海南浦大橋，該橋是帶有雙I字梁鈍體截面的結(jié)合梁斜拉橋，因此，不存在類似于機(jī)翼顫振的精確解。表2列出了分別按照其余5種方法的計(jì)算結(jié)果和彎扭兩個(gè)模態(tài)耦合顫振的計(jì)算結(jié)果及其與全模態(tài)分析結(jié)果的相對(duì)誤差。

上述計(jì)算結(jié)果表明，Van der Put計(jì)算公式和Selberg計(jì)算公式均不能用于鈍體截面的橋梁顫振計(jì)算，而其余四種數(shù)值分析方法的臨界風(fēng)速計(jì)算結(jié)果均隨參與顫振的振型數(shù)量的增加而增大。

六、結(jié)語
大跨度橋梁顫振穩(wěn)定性分析始于Theodorsen的古典耦合顫振理論，Scanlan結(jié)合非流線型的橋梁斷面提出了分離流非定常氣動(dòng)力表達(dá)式及其相應(yīng)的分離流顫振理論，在此基礎(chǔ)上，逐步形成和完善了二維和三維橋梁顫振分析方法。因此，空氣動(dòng)力作用下大跨度橋梁風(fēng)振穩(wěn)定性研究經(jīng)歷了由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由解析方法到數(shù)值方法、由二維橋梁顫振分析到三維橋梁顫振分析以及由多模態(tài)參與顫振到全模態(tài)參與顫振的發(fā)展過程。

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